LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6

Rozwąż rebus

ABBA=AA2+BB2

gdzie A jest różne od B.

Rozwiązanie

  1. Srawdzamy czy A może być równe 0.

    Jeśli A = 0, to rebus przymuje postać:   BB0  = BB2.
    Wtedy B musi być równe 0, ale to jest niemożliwe gdyż A ą B.

  2. Srawdzamy czy B może być równe 0.

    Jeśli B = 0, to rebus przymuje postać:   A00A  = AA2.

    A00A  = AA2.
    A × 1001 = (A × 11)2
    A × 11 × 91 = A2 × 112
    91 = 11 × A

    To także jest niemożliwe, bo 91 nie dzieli się przez 11.

  3. Wiemy już, że A ą 0 i B ą 0.
  4. Będziemy badać teraz możliwości sprawdzając zgodność cyfr jedności w liczbach rebusu, pamiętając o tym , że

    kwadraty liczb nie mogą kończyć się na 2, 3, 7, 8.    (*)

      ABBA = AA2 + BB2   Czy to możliwe?
    A = 1 ... 1 = ... 1 + ... 0 B = 0 Nie, bo B ą 0.
    A = 2 ... 2 = ... 4 + ... 8 B = ? Nie. Patrz (*).
    A = 3 ... 3 = ... 9 + ... 4 B = 2 Nie, bo 332 + 222 ą 3223
    A = 3 ... 3 = ... 9 + ... 4 B = 8 Nie, bo 332 + 882 ą 3883.
    A = 4 ... 4 = ... 6 + ... 8 B = ? Nie. Patrz (*).
    A = 5 ... 5 = ... 5 + ... 0 B = 0 Nie, bo B ą 0.
    A = 6 ... 6 = ... 6 + ... 0 B = 0 Nie, bo B ą 0.
    A = 7 ... 7 = ... 9 + ... 8 B = ? Nie. Patrz (*).
    A = 8 ... 8 = ... 4 + ... 4 B = 2 TAK. 882 + 222 = 8228.
    A = 9 ... 9 = ... 1 + ... 0 B = 0 Nie, bo B ą 0.

    Odpowiedź

    Rebus ma tylko jedno rozwiązanie: A = 8, B = 2.

    Radek Cywiński